B. Теория вероятностейСодержание=== *** === *** === В данном руководстве приведены основные сведения из теории вероятностей, рассчитанные на учащихся старших классов средних школ, студентов технических ВУЗов и техникумов. Предполагается, что читатели знакомы с основами математического анализа. В руководстве доказательства не приводятся. Материалы разделов B.4 и B.5 при первом прочтении можно пропустить. B.1. Случайность событийи её количественная характеристикаСтатистика изучает числовые значения, чтобы обнаружить в них закономерности. При этом закономерности бывают достоверными (детерминированными) и случайными (недетерминированными, стохастическими). Примерами детерминированных закономерностей являются:
Как правило, достоверные закономерности можно вычислить с помощью формул и/или точных алгоритмов. Наоборот, случайные события не могут быть выражены формулой. Например, мы не можем точно указать:
Ответы на подобные вопросы можно получить, только проведя соответствующие испытания. Поэтому дадим определения случайным («стохастическим») событиям:
Идея случайностиДля описания явлений с неопределённым исходом используется идея случайности. Согласно этой идее, результат стохастического исхода определяется неким случайным испытанием, случайным экспериментом, случайным выбором. Вопрос о том, насколько применим такой подход к стохастическим событиям, решается по результатам практического применения. Закономерность и случайностьВ большинстве явлений присутствуют оба вида изменчивости: и закономерная, и случайная. Для нахождения закономерностей нам приходится «отсеивать» мешающие случайные факторы. Правильным «отсевом» этих факторов занимается такая дисциплина, как «планирование эксперимента». Однако случайности могут не только мешать нахождению закономерностей – они способны сами порождать их. Например, предсказать движение всех молекул газа в сосуде не представляется возможным. Однако вся их совокупность ведёт себя вполне закономерно, подчиняясь уравнению Клайперона-Менделеева. Давление газа на площадь сосуда постоянно, и обратно пропорционально его объёму. Аналогично, время и длительность телефонных звонков выбирает сам абонент, но нагрузка на АТС, распределение перерывов между звонками – закономерное событие. Изучением закономерностей, порождаемых случайными событиями, занимается наука «теория вероятностей». События и их вероятностиХотя результат эксперимента, опыта, зависящего от случайных факторов, нельзя предсказать, его возможные исходы (события, результаты) имеют неодинаковые шансы на появление. Количественной мерой «правдоподобия» – появления определённого события, является вероятность. Если A – случайное событие, то вероятность его появления обозначается как P(A). Вероятность – величина нормированная. Для любого события 0 <= P(A) <= 1, причём P(A) = 0, если A – невозможное событие, и P(A) = 1, если A – достоверное (детерминированное) событие. Для всех возможных событий Ai из множества α существует следующая формула нормировки: (B.001) Таким образом, вероятности всех исходов не может быть больше единицы. Приведём пример использования теории вероятностей на птицефабрике. Учащиеся школ, знакомящиеся с птицефабрикой на экскурсии, часто задают вопрос: «А как узнать, сколько кур и сколько петушков вылупиться из яиц»? К своему удивлению, они слышат следующий ответ: «А мы всегда заранее знаем и планируем, сколько кур и петухов выводится в инкубаторе при закладке в него яиц. Дело в том, что вероятность получения из яйца курицы равна 49%, а петушков – 51%. Поэтому если положить в инкубатор, допустим, сто яиц, то из них вылупится 49 курочек и 51 петушок». Действительно, предсказать, какой цыплёнок вылупится из конкретного яйца, проблематично. Но совокупный результат – всегда предсказуемое явление. Случайные события.Объединением, или суммой случайных событий A и B называют событие C, которое происходит тогда или только тогда, когда происходит событие A, B или оба вместе. Его обозначение: (B.002) Пересечением, или произведением событий A и B называют событие C, которое происходить только в том случае, если возможны оба события, A и B. Его обозначение: (B.003) Отрицанием события A называют такое событие, которое состоит в том, что не происходит события A. Оно обозначается как – A. Событие, которое при нашем случайном испытании обязательно происходит, называется достоверным событием, а которое невозможно осуществить – невозможным событием. По этому определению: – достоверное событие, (B.004), а – невозможное событие (B.005). Если события A и B не могут произойти одновременно (т.е. A·B – невозможное событие), то их называют несовместными событиями. Для несовместных событий верны формулы: P(A·B) = 0 (B.006) P(A+B) = P(A) + P(B) (B.007) В общем случае, для суммы вероятностей событий A и B применима следующая формула: P(A+B) = P(A) + P(B) - P(A·B) (B.008) Случайные исходыДля полного описания случайного опыта нужно указать на все его возможные исходы и вероятности. Например, однократное бросание игральное кости, имеющей форму куба, приводит к выпадению одной из шести её граней. Это шесть элементарных исходов кости, т. е неразложимые на более простые исходы (события). Если при розыгрыше лотереи вынимается каждый раз один шар (из 36), то выбор каждого шара – также элементарный исход. Если кость, как говорят, правильная, розыгрышные шары хорошо перемешаны, то:
Таким образом, мы получили одну из важнейших правил теории вероятностей:
Вероятность события A, которое наступает при наступлении m элементарных исходов из n возможных, будет равна m/n: P(A) = m/n (B.009) Условная вероятность(При первом прочтении это доказательство можно пропустить) Выразим условную вероятность случайного испытания с конечным числом элементарных исходов. Пусть число всех элементарных исходов Ω, а ω – произвольный элементарный исход, и вероятность этого исхода P(ω). Любые события A и B являются подмножества множества Ω. Обозначим P(A|B) условную вероятность события A при условии, что произошло событие B. При исходах ω, не входящих в событие B, невозможны при наступлении события B, поэтому условная вероятность исхода omega при событии B: P(ω|B) = 0, если ω не входит в B (B.010) Для исходов ω, при которых наступает событие B, сумма их вероятностей должна равняться P(B): (B.011) а сумма их условных вероятностей: (B.012) Чтобы одновременно выполнялись обе нормировки, необходимо, чтобы (B.013) Таким образом, получим следующее определение условной вероятности A при наступлении события B: (B.014) Событие A не зависит от события B, если: P(A|B) = P(A) (B.015) B.2. Определение вероятностиЕсли некоторое событие может произойти, а может и не произойти, то оно называется случайным событием, а количественной характеристикой его появления является вероятность. Случайные события могут быть совместными (когда они могут произойти вместе друг с другом) и несовместными (когда эти события «не пересекаются»), независимыми (когда вероятность появления одного случайного события не зависит от другого) и условными (когда вероятность наступления одного события вычисляется некоторой функцией от другого события). Из этих соображений вытекает следующее определение вероятностей, приведённое в [1]: Если при некоторых условиях должно произойти одно из n несовместных независимых случайных событий, причём нет оснований предполагать, что одно из них предпочтительней другого, то говорят, что эти события имеют одинаковую вероятность, равную: P = 1/n (B.016) Если некоторое случайное событие A появляется как следствие одного из m событий при общем числе n возможных исходов (несовместных и равновероятных), то вероятностью события A называют число: P = m/n (B.017) Невозможному событию соответствует вероятность 0, а достоверному событию – вероятность 1. Вероятность любого события P находится в диапазоне: 0 < P < 1 (B.018) Понятие о зависимых и совместных событиях.Если вероятность события B зависит от того, произойдёт или нет событие A, то такую вероятность называют условной вероятностью, а события – зависимыми. Условная вероятность определяется как P(B|A). Проиллюстрировать условную вероятность условную вероятность можно следующим образом. Пусть у нас есть корзина с n шарами, из которых m шаров белых, а остальные – чёрные шары. Предположим, что мы берём шары наугад, и если шар белый, мы выбираем следующий шар, не возвращая выбранный белый шар обратно в корзину. Если шар чёрный, то мы возвращаем его в корзину и выбираем следующий шар. Таким образом, в нашем случае вероятность «вытянуть» чёрный и белый шар после белого шара – условная вероятность, а вероятность «вытянуть» любой шар после чёрного – безусловная вероятность. === *** === *** === Совместные события – события, которые могут происходить совместно друг с другом. Например, если вероятность попадания пули в цель стрелком равна 60%, то вероятность попадания пуль в цель, после двух попыток, будет больше 60%, но не равна 120%. Это объясняется тем, что хотя вероятности попадания в цель независимы, однако взяты из одной выборки, т.е. могут происходить совместно. Вероятность же стрелка попасть в цель после двух попыток равна 84% (см. формулу сложения совместных вероятностей ниже). Сложение и умножение вероятностейВероятность появления какого-либо одного (безразлично какого) из нескольких независимых несовместных событий A и B равна сумме вероятностей этих событий. P = P(A) + P(B) (B.019) Вероятность совместного появления нескольких независимых событий равна произведению вероятностей этих событий: P = P(A)·P(B) (B.020) Зависимые события.Если вероятность события B зависит от того, произошло или нет событие А, то такую вероятность условной вероятностью и обозначают следующим образом: P(B|A). В этом случае формулы сложения и умножения вероятностей (для зависимых несовместных событий) будут следующими: P(B) = P(B|A)·P(A) (B.021) P(AB) = P(B|A)·P(A)2 (B.022) P(A+B) = P(A)·(P(B|A)+1) (B.023) Совместные события.Если два события не зависимы друг от друга, но могут произойти одновременно, то суммарная вероятность наступления хотя бы одного из них будет равна: P(A+B) = P(A) + P(B) - P(A)·P(B) (B.024) Вероятность их совместного появления будет по-прежнему вычисляться по формуле (B.020). === *** === *** === Как видно из формул (B.011) – (B.024), число коэффициентов и при вычислении условных и/или совместных вероятностей возрастает. Причём это возрастание сложности делает невозможным применение простых формул (B.019) и (B.020), а сами функции вычисления вероятностей оказываются перегружены множественными коэффициентами. Поэтому в теории вероятностей ввели понятие функции распределения вероятности, которые позволяют при помощи ограниченного числа независимых параметров рассчитать любую вероятность наступления событий. Измерение вероятностиЕсли мы ввели понятие вероятности как количественное выражение правдоподобия случайного события, то нам необходимы методы её измерения. Здесь возможны пути умозрения и прямого измерения. Умозрительный способ определения вероятности основан на понятии «элементарного исхода».
Свойства элементарного исхода следующие:
Однако у умозрительного принципа есть следующие недостатки:
Поэтому «в чистом» виде умозрительный способ расчёта вероятностей используется только в приложении к случайному выбору, лотереям и азартным играм. Измерение вероятности события отличается от измерения других физических величин. Физические величины измеряются приборами. Для вероятности такого прибора нет. Измерение вероятности основано на независимых повторениях случайного эксперимента. Пусть в случайном опыте нас интересует вероятность события А. При правильно спланированном случайном опыте вероятность события A не меняется. Проведём N таких испытаний (реализаций) этого опыта. Это число выбирается заранее. Подсчитаем число тех опытов из N, в которых событие произошло – N(A). Тогда по теореме Бернулли [Анализ данных на компьютере], отношение N(A)/N приблизительно равно P(A), если число повторений N велико. (B.025) Итак, задав вопрос об измерении вероятностей, мы столкнулись с неожиданностью – это измерение оказалось, во-первых, непростым с физической точки зрения (многократное повторение при неизменных условиях), а во-вторых, сопряжённым с довольно сложными и новыми понятиями. Особо следует подчеркнуть, что описанные выше опыты должны:
Все эти факторы затрудняют получение результатов измерения вероятности, особенно если требуется высокая точность этого измерения. B.3. Случайная величинаСодержаниеB.3.1. Понятие и примерыфункции распределения вероятностейКак уже сказано выше, если искомая вероятность не является ни независимой, ни несовместной, при расчёте нужно пользоваться функциями распределения вероятностей. Приведём пример использования такой функции. ... Во время Великой Отечественной войны, при бомбёжке Ленинграда, в зоопарке бомба попала в слона. Это позволило некоторым неосведомлённым «критикам» теории вероятностей заявить о невозможности такого события. Они утверждали: «Если разделить площадь слона на площадь Ленинграда, то получим почти нулевую вероятность этого события». Однако это утверждение справедливо лишь в том случае, если бы немецкие бомбардировщики сбрасывали бомбы куда ни попади. На деле же положение вещей объясняется следующим образом. В то время зоопарк находился в центре города, вблизи трёх мостов. Поскольку мосты – цели бомбардировки, а зоопарк находился в зоне 60% попадания бомбы в цель, вероятность попадания бомбы в слона не является призрачной. Итак, для объяснения этого факта достаточно изменить функцию равномерного распределения вероятностей на «колокол» кривой Гаусса (с центром в области этих трёх мостов). Функции распределения вероятностей бывают дискретными (определённых на ограниченном целом числе испытаний) и непрерывными (определённых на непрерывном, почти бесконечном множестве вещественных чисел). Случайные величины
|
||